Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)分別為B（x1 ， 0），C（x2 ， 0），且x2﹣x1=4，直線AD∥x軸，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（t，0）過點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P、Q．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)0＜t≤8時(shí)，求△APC面積的最大值；
（3）當(dāng)t＞2時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的兩根，

∴x1+x2=8，

由

解得：

∴B（2，0）、C（6，0）

則4m﹣16m+4m+2=0，

解得：m= ，

∴該拋物線解析式為：y=

（2）

解：可求得A（0，3）

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

∵

∴

∴直線AC的解析式為：y=﹣ x+3，

要構(gòu)成△APC，顯然t≠6，分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜t＜6時(shí)，設(shè)直線l與AC交點(diǎn)為F，則：F（t，﹣ ），

∵P（t， ），∴PF= ，

∴S△APC=S△APF+S△CPF

=

=

= ，

此時(shí)最大值為： ，

②當(dāng)6＜t≤8時(shí)，設(shè)直線l與AC交點(diǎn)為M，則：M（t，﹣ ），

∵P（t， ），∴PM= ，

∴S△APC=S△APM﹣S△CPM=

=

= ，

當(dāng)t=8時(shí)，取最大值，最大值為：12，

綜上可知，當(dāng)0＜t≤8時(shí)，△APC面積的最大值為12

（3）

解：方法一：

如圖，連接AB，則△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，

Q（t，3），P（t， ），

① 當(dāng)2＜t＜8時(shí)，AQ=t，PQ= ，

若：△AOB∽△AQP，則： ，

即： ，

∴t=0（舍），或t= ，

若△AOB∽△PQA，則： ，

即： ，

∴t=0（舍）或t=2（舍），

②當(dāng)t＞8時(shí)，AQ′=t，PQ′= ，

若：△AOB∽△AQP，則： ，

即： ，

∴t=0（舍），或t= ，

若△AOB∽△PQA，則： ，

即： ，

∴t=0（舍）或t=14，

∴t= 或t= 或t=14．

方法二：

若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，

則 或 ，

設(shè)P（t， ）（t＞2）

∴Q（t，3）

② | |= ，∴| |= ，∴t1=2（舍），t2=14，

②| |= ，∴| |= ，∴t1= ，t2= ，

綜上所述：存在：t1= ，t2= ，t3=14．

【解析】（1）認(rèn)真審題，直接根據(jù)題意列出方程組，求出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出拋物線的解析式；（2）分0＜t＜6時(shí)和6＜t≤8時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，據(jù)此即可求出三角形的最大值；（3）以點(diǎn)D為分界點(diǎn)，分2＜t≤8時(shí)和t＞8時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，再根據(jù)三角形相似的條件，即可得解．