Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC于點H，AC⊥AB，BD平分∠ABC，分別交AH、AC于點E、F．
（1）求證：AE=AF；
（2）設AB=m，求：sin∠BAH的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AC⊥AB，AH⊥BC，得出∠BAE=∠DAF，根據(jù)BD平分∠ABC，得出∠ABD=∠CBD，根據(jù)AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠ADB，從而證出AB=AD，最后根據(jù)ASA證出△BAE≌△DAF，即可得出AE=AF；
（2）先設BH=x，根據(jù)已知條件得出四邊形AHCD是矩形，HC=AD，根據(jù)AB=AD，AB=m，得出HC=AB=m，根據(jù)∠BHA=∠BAC=90°，得出∠HBA=∠ABC，從而證出△HBA∽△ABC，=，再把AB=m，BH=x代入比例式，得出x²+mx-m²=0，求出x的值，最后根據(jù)sin∠BAH=，即可得出答案；
解答：證明：（1）∵AC⊥AB，AH⊥BC于點H．
∴∠CAB=∠HAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
在△BAE和△DAF中，

∴△BAE≌△DAF，
∴AE=AF． 

（2）設BH=x，
∵AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC，
∴四邊形AHCD是矩形，
∴HC=AD，
∵AB=AD，AB=m，
∴HC=AB=m，
∵DC⊥BC，AH⊥BC，
∴∠BHA=∠BAC=90°，
∵∠HBA=∠ABC，
∴△HBA∽△ABC，
∴=，
∴=，即x²+mx-m²=0，
∴x==，
∵x＞0，
∴x=m，
在Rt△ABH中，sin∠BAH==；
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)題意列出關于x，m的方程．