Question

為推進(jìn)節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，深化“宜居重慶”的建設(shè)，我市某“用電大戶”用480萬(wàn)元購(gòu)得“變頻調(diào)速技術(shù)”后，進(jìn)一步投入資金1520萬(wàn)元購(gòu)買配套設(shè)備，以提高用電效率達(dá)到節(jié)約用電的目的．已知該“用電大戶”生產(chǎn)的產(chǎn)品“草甘磷”每件成本費(fèi)為40元．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷售單價(jià)，需定在100元到300元之間較為合理．當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬(wàn)件；當(dāng)銷售單價(jià)超過(guò)100元，但不超過(guò)200元時(shí)，每件新產(chǎn)品的銷售價(jià)格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬(wàn)件；當(dāng)銷售單價(jià)超過(guò)200元，但不超過(guò)300元時(shí)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格在200元的基礎(chǔ)上每增加10元，年銷售量將減少1萬(wàn)件．設(shè)銷售單價(jià)為x元），年銷售量為y萬(wàn)件），年獲利為w萬(wàn)元）．
（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-節(jié)電投資）
（1）直接寫(xiě)出y與x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求第一年的年獲利w與x函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明投資的第一年，該“用電大戶”是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤(rùn)是多少？若虧損，最少虧損是多少？
（3）若該“用電大戶”把“草甘磷”的銷售單價(jià)定在超過(guò)100元，但不超過(guò)200元的范圍內(nèi)，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小虧損）后，兩年的總盈利為1842萬(wàn)元，請(qǐng)你確定此時(shí)銷售單價(jià)．在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）分段討論當(dāng)100＜x≤200和當(dāng)200＜x≤300的函數(shù)關(guān)系式，
（2）由年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-節(jié)電投資分別列出當(dāng)100＜x≤200和200＜x≤300的利潤(rùn)關(guān)系式，求出最大利潤(rùn)，
（3）依題意可知，當(dāng)100＜x≤200時(shí)，寫(xiě)出第二年w與x關(guān)系為式，由兩年的總盈利為1842萬(wàn)元，解得單價(jià)x．
解答：解：（1）當(dāng)100＜x≤200，
y=20-×0.8，
∴，
當(dāng)200＜x≤300，
把x=200代入y=-x+28，
得：y=12，
∴y=12-×1，
；

（2）當(dāng)100＜x≤200時(shí)，
w=（x-40）y-（1520+480）
=，
=-，
=
∵
x=195，w_最大=-78
當(dāng)200＜x≤300時(shí)，
w=（x-40）y-（1520+480）
=，
=，
=，
當(dāng)x=180時(shí)，不在200＜x≤300范圍內(nèi)，
∵，∴當(dāng)在200＜x≤300時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴w＜-80
是虧損的，最少虧損為78萬(wàn)元．（7分）

（3）依題意可知，當(dāng)100＜x≤200時(shí)，第二年w與x關(guān)系為

當(dāng)總利潤(rùn)剛好為1842萬(wàn)元時(shí)，依題意可得（8分）
整理，得x²-390x+38000=0
解得，x₁=190，x₂=200
∴要使兩年的總盈利為1842萬(wàn)元，銷售單價(jià)可定為190元或200元．（9分）
∵對(duì)，y隨x增大而減小
∴使銷售量最大的銷售單價(jià)應(yīng)定為190元．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，比較簡(jiǎn)單．