Question

（滿分13分）如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)B、C ；拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，并與軸交于另一點(diǎn)A．

 

（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)是（1）所得拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N ．

① 若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)．試問：線段PN的長度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請說明理由；

② 求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）①     ② 

【解析】（1）由于直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn),令y=0得=3；令=0，得y=3

∴B（3，0），C（0，3）        ……1分

∵點(diǎn)B、C在拋物線上，于是得

                   ……2分

解得b=2，c=3                    ……3分

∴所求函數(shù)關(guān)系式為  ……4分

（2）①∵點(diǎn)P（,y）在拋物線上，且PN⊥x軸，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（, ） ……5分

同理可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）     ……6分

又點(diǎn)P在第一象限，

∴PN=PM-NM

=（）-（）

=

=  ……7分

∴當(dāng)時(shí)，

線段PN的長度的最大值為．           ……8分

②解法一：

由題意知，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，又由①知，OB=OC

∴BC的中垂線同時(shí)也是∠BOC的平分線，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

又點(diǎn)P在拋物線上,于是有 ∴ …9分

解得           ……10分

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為： 或  …11分

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為  ，此時(shí)點(diǎn)P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，   ，OB=OC=3

 

 

 

 

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為                           ， 此時(shí)點(diǎn)P在第三象限，

則

           ……13分

解法二：由題意知，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，

又由①知，OB=OC

∴BC的中垂線同時(shí)也是∠BOC的平分線，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

又點(diǎn)P在拋物線上，于是有

∴    ……9分

解得         ……10分

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:

 或 …11分

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，此時(shí)點(diǎn)P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，

 ，OB=OC=3

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為    ，   此時(shí)點(diǎn)P在第三象限，（與解法一相同）……13分

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，△BPC面積其它解法有：

①，BC=

②

       

          （本答案僅供參考）