Question

等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；
（2）在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；
（3）在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．

Answer 1

分析：（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF=60°，主要再證得PE=PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結(jié)論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE=PC來實現(xiàn)；
（2）由（1）不難得出∠CFG=90°，那么在△CFG中，有∠C的度數(shù)，可以根據(jù)CF的長求出GC的長，從而求出GB的長，下面的關(guān)鍵就是求GB邊上的高，過E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的長，有∠ABC的度數(shù)，可以求出BE、EP的長，再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求出EH的長，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設(shè)BP=x，則CP=6-x，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可．

解答：解：（1）∵PE⊥AB，∠B=60°，
因此直角三角形PEB中，BE=

1

2

BP=

1

3

BC=PC，
∴∠BPE=30°，
∵∠EPF=60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，

∠B=∠C BE=PC ∠PEB=∠FPC=90°

，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP=PF，
∵∠EPF=60°，
∴△EPF是等邊三角形．

（2）過E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，F(xiàn)C=BP=

2

3

BC=4，BE=CP=

1

3

BC=2，
在三角形FCP中，∠PFC=90°-∠C=30°，
∵∠PFE=60°，
∴∠GFC=90°，
直角三角形FGC中，∠C=60°，CF=4，
∴GC=2CF=8，
∴GB=GC-BC=2，
直角三角形BEP中∠EBP=60°，BP=4，
∴PE=2

3

，BE=2，
∴EH=BE•PE÷BP=

3

，
∴S_△GBE=

1

2

BG•EH=

3

；

（3））∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠EPF=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴

BP

CF

=

BE

CP

，
設(shè)BP=x，則CP=6-x．
∴

x

2

=

4

6-x

，
解得：x=2或4．
當(dāng)x=2時，在△△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=2，
過E作EH⊥BC于H，
則EH=BE•sin∠B=2

3

，BH=2，
∴PH=0，
即P與H重合，與CF≠BP矛盾，故x=2不合題意，舍去；
當(dāng)x=4時，在△△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=4，
則△BEP是等邊三角形，
∴PE=4．
故PE=4．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)，注意對全等三角形和等邊三角形的應(yīng)用．