(2009•河北)在圖1至圖3中,點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn).四邊形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中點(diǎn)是M.
(1)如圖1,點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)C重合,求證:FM=MH,F(xiàn)M⊥MH;
(2)將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,得到圖2,求證:△FMH是等腰直角三角形;
(3)將圖2中的CE縮短到圖3的情況,△FMH還是等腰直角三角形嗎?(不必說明理由)
【答案】分析:(1)本題主要利用重合的性質(zhì)來證明.
(2)首先要連接MB、MD,然后證明△FBM≌△MDH,從而求出兩角相等,且有一角為90°.
(3)根據(jù)(2)的證明過程,中△FBM≌△MDH仍然成立即可證明.
解答:(1)證明:∵四邊形BCGF為正方形
∴BF=BM=MN,∠FBM=90°
∵四邊形CDHN為正方形
∴DM=DH=MN,∠HDM=90°
∵BF=BM=MN,DM=DH=MN
∴BF=BM=DM=DH
∵BF=DH,∠FBM=∠HDM,BM=DM
∴△FBM≌△HDM
∴FM=MH,
∵∠FMB=∠DMH=45°,
∴∠FMH=90度,
∴FM⊥HM.

(2)證明:連接MB、MD,如圖2,設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P.
∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn),
∴MD∥BC,且MD=AC=BC=BF;
MB∥CD,且MB=CE=CD=DH(三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半),
∴四邊形BCDM是平行四邊形,
∴∠CBM=∠CDM,
又∵∠FBP=∠HDC,
∴∠FBM=∠MDH,
∴△FBM≌△MDH,
∴FM=MH,且∠FMB=∠MHD,∠BFM=∠HMD.
∴∠FMB+∠HMD=180°-∠FBM,
∵BM∥CE,
∴∠AMB=∠E,
同理:∠DME=∠A.
∴∠AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM.
由已知可得:BM=CE=AB=BF,
∴∠A=∠BMA,∠BMF=∠BFM,
∴∠FMH=180°-(∠FMB+∠HMD)-(∠AMB+∠DME),
=180°-(180°-∠FBM)-∠CBM,
=∠FBM-∠CBM,
=∠FBC=90°.
∴△FMH是等腰直角三角形.

(3)解:△FMH還是等腰直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了等腰三角形的判定,偏難,學(xué)生要綜合運(yùn)用學(xué)過的幾何知識(shí)來證明.
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