Question

已知方程ax²+bx+c=x（a＞0）的兩個(gè)根x₁，x₂，滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

．當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，證明：x＜ax²+bx+c＜x₁．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程根的分布

專題：證明題

分析：方程ax²+bx+c=x（a＞0）的兩個(gè)根是x₁，x₂，所以構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)推出x＜ax²+bx+c，然后作差x₁-（ax²+bx+c），化簡分析出ax²+bx+c＜x₁，即可．

解答：證明：令F（x）=ax²+bx+c-x．因?yàn)閤₁，x₂是方程ax²+bx+c-x=0的根，
所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜ax²+bx+c，
x₁-（ax²+bx+c）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜

1

a

，
所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0，
得x₁-（ax²+bx+c）＞0，
由此得ax²+bx+c＜x₁，
故x＜ax²+bx+c＜x₁．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程、二次函數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．