Question

（2013•長寧區(qū)一模）如圖，已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，點P從A點出發(fā)，以1cm/秒的速度沿AB向B點勻速運動，點Q從A點出發(fā)，以x cm/秒的速度沿AC向C點勻速運動，且P、Q兩點同時從A點出發(fā)，設運動時間為t 秒（

1

2

），連接PQ．解答下列問題：
（1）當P點運動到AB的中點時，若恰好PQ∥BC，求此時x的值；
（2）求當x為何值時，△ABC∽△APQ；
（3）當△ABC∽△APQ時，將△APQ沿PQ翻折，A點落在A′，設△A′PQ與△ABC重疊部分的面積為S，寫出S關于t的函數(shù)解析式及定義域．

Answer 1

分析：（1）PQ∥BC，P是AB的中點，則Q一定是AC的中點，求得AQ的長，則速度x即可求得；
（2）△ABC∽△APQ，則一定有PQ∥BC，即與（1）相同，即可求得x的值；
（3）根據(jù)（2）中所求，再分0＜t≤4和4＜t＜8兩種情況進行討論，當0＜t≤4時重合部分就是△A′PQ；當4＜t＜8時，重合部分是直角梯形，根據(jù)梯形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）設AP=t，AQ=xt （0≤t≤8）∵AB=8  AP=

1

2

AB=4  即t=4  
∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm
∴AC=10 cm 
∵PQ∥BC
∴

AP

AB

=

AQ

AC

即

4

8

=

4x

10

解得：x=

5

4

（2）①若∠APQ=∠ABC，則BC∥PQ，此時與（1）相同，x=

5

4

；
 ②若∠APQ=∠C，則

AP

AC

=

AQ

AB

，即

t

10

=

xt

8

，
解得，x=

4

5

．
綜上可得當x=

4

5

或

5

4

時，△ABC∽△APQ．

（3）當x=

5

4

時，
∵BC∥PQ，
∴

AP

AB

=

PQ

BC

，
∴PQ=

AP•BC

AB

=

6t

8

=

3

4

t，
則當0＜t≤4時，重疊部分的面積為S=S_△A′PQ=S_△APQ=

1

2

AP•PQ=

1

2

t•

3

4

t=

3

8

t²；
當4＜t≤8時，如圖1所示，則A′P=AP=t，PQ=

3

4

t，
∴BP=AB-AP=8-t，
則A′B=t-（8-t）=2t-8，
∵BD∥PQ，
∴

BD

PQ

=

A′B

A′P

∴BD=

(2t-8)• 3 4 t

t

=

3

2

（t-4），
∴S=S_{四邊形BDQP}=

1

2

（BD+PQ）•BP=

1

2

[

3

2

（t-4）+

3

4

t]•（8-t）=-

9

8

t²+12t-24，
 則函數(shù)解析式是：S=

3 8 t2(0＜t≤4) - 9 8 t2+12t-24(4＜t≤8)

．
當x=

4

5

時，同理可得出S=

6 25 t2(0＜t≤ 25 4 ) - 342 175 t2+ 192 7 t- 600 7 ( 25 4 ＜t≤8)

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，正確分情況討論，因求得x的值是關鍵．