Question

如圖所示的拋物線是y=-

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2

x2的圖象經(jīng)平移而得到的，此時拋物線過點A（1，0）和x軸上點A右側的點B，頂點為P．
（1）當∠APB=90°時，求點P的坐標及拋物線的解析式；
（2）求上述拋物線所對應的二次函數(shù)在0＜x≤7時的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）可設平移后的拋物線的解析式為y=-

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2

（x-h）²+t，那么拋物線的頂點P為（h，t）．由于△AMP是等腰直角三角形，如果過P作x軸的垂線不難得出t=h-1，那么拋物線的解析式可寫成：y=-

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2

（x-h）²+h-1，將A點坐標代入拋物線的解析式中即可得出h和t的值，進而可求出P點坐標和拋物線的解析式．
（2）可根據(jù)（1）的二次函數(shù)解析式和自變量的取值范圍求出函數(shù)的最大和最小值．

解答：解：（1）過P作PC⊥AB于C，設平移后拋物線的解析式為y=-

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（x-h）²+t，
則P點坐標為（h，t）．
在直角三角形PAC中，∠PAB=45°，
因此PC=AC，即t=h-1．
由于拋物線過A點，則有：

t=h-1 0=- 1 2 (1-h)2+h-1

解得：

h=3 t=2

，

h=1 t=0

（不合題意舍去）
因此拋物線的解析式為y=-

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2

（x-3）²+2．

（2）根據(jù)（1）的二次函數(shù)關系式可知：
當x=3時，y_max=2
當x=7時，y_min=-6．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及函數(shù)解析式的確定及性質(zhì)等知識點．弄清二次函數(shù)圖象平移前后解析式的區(qū)別是解題的關鍵．