Question

已知拋物線y=ax²-5ax+4a與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左邊），與y軸交于C點(diǎn)，且過點(diǎn)（5，4）．
（1）求a的值；
（2）設(shè)頂點(diǎn)為P，求△ACP的面積；
（3）在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使S△ABQ=

1

2

S△ABP？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）畫出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象回答當(dāng)x為何值時(shí)，y≥0？
（5）寫出當(dāng)2≤x≤6時(shí)，該函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)（5，4）代入y=ax²-5ax+4a解得a；
（2）求出A、P、C點(diǎn)的坐標(biāo)，過直線PC與x軸的交點(diǎn)M，S_△APC=S_△AMC+S_△AMP；
（3）該拋物線上存在點(diǎn)Q，使S△ABQ=

1

2

S△ABP，確定Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)即可；
（4）由點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)畫出圖象，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出x的取值范圍；
（5）因?yàn)閤=2，x=6在x=

5

2

的右側(cè)，a＞0，y隨x的增大而增大，把x=2，x=6代入解析式求得函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）把點(diǎn)（5，4）代入y=ax²-5ax+4a
解得a=1；

（2）如圖，
由y=x²-5x+4可知，A（1，0），C，0，4），P（

5

2

，-

9

4

），
過PC的直線為y=-

5

2

x+4，與x軸的交點(diǎn)M為（

8

5

，0），
S_△APC=S_△AMC+S_△AMP=

1

2

×（

8

5

-1）×4+

1

2

×（

8

5

-1）×

9

4

=

15

8

；

（3）該拋物線上存在點(diǎn)Q．
因?yàn)槭?span id="cuqseeq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">S△ABQ=

1

2

S△ABP，所以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為

9

8

，
當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方，由x²-5x+4=

9

8

，
解得x=

10± 3 6

4

，
當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方，由x²-5x+4=-

9

8

，
解得x=

10± 3 2

4

，
由此得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：
(

10±3 6

4

，

9

8

)，(

10±3 2

4

，-

9

8

)

（4）由圖象可以看出當(dāng)x≤1或x≥4時(shí)，y≥0．

（5）因?yàn)閥=x²-5x+4=（x-

5

2

）²-

9

4

，
所以把x=2，x=6分別代入y=x²-5x+4，
可得當(dāng)x=2時(shí)，y=-2，
當(dāng)x=6時(shí)，y=10，
∴函數(shù)的最大值為10，最小值為-

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的對(duì)稱性、圖形面積的求法、方程與函數(shù)的關(guān)系、分類討論的思想．