Question

如圖，已知：BC、AD相交于O點(diǎn)，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．

求證：（1）AD=BC；（2）AO=BO．

Answer 1

證明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
∵AC=BD，AB=BA，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA．
∴AD=BC．

（2）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠AOC=∠BOD，AC=BD，
∴Rt△COA≌Rt△DOB．
∴AO=BO．
分析：（1）因?yàn)锳C⊥BC，BD⊥AD，可得△ACB和△BDA是直角三角形，條件AC=BD和公共邊AB．用HL可判定以上兩個(gè)三角形全等，問題得證；
（2）要證明AO=BO，就要證明三角形AOC和BOD全等．在三角形AOC和BOD中，已知的條件有對(duì)頂角∠AOC=∠BOD，有垂直得∠C=∠D=90°，所以可判定Rt△COA≌Rt△DOB，問題得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，常用的判定方法為：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性質(zhì)是：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．在證明中還要注意圖形中隱藏條件的挖掘如：本題中的對(duì)頂角和公共邊．