Question

頂點(diǎn)為（-

1

2

，-

17

4

）的拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，-4），E（0，b）（b＞-4）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線y=x+b與拋物線交于B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）①如圖，當(dāng)b=0時(shí)，求證：E是線段BC的中點(diǎn)．
②當(dāng)b≠0時(shí)，E還是線段BC的中點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由．
（3）是否存在這樣的b，使∠BOC是直角？若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）因?yàn)橹�道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+

1

2

)2-

17

4

，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a的值即可求出拋物線的解析式；
（2）①分別過點(diǎn)B、C作BM⊥y軸于點(diǎn)M，CN⊥y軸于點(diǎn)N，當(dāng)b=0時(shí)，直線BC為y=x，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到BM=CN=2，再通過證明△BME∽△CNE，由相似三角形的性質(zhì)可得：BE：CE=BM：CN，故BE=CE；②當(dāng)b≠0時(shí)，E還是線段BC的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、C作BP⊥y軸于點(diǎn)P，CQ⊥y軸于點(diǎn)Q，其他過程同①；
（3）存在這樣的b，使∠BOC是直角，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，因?yàn)闉锽C的中點(diǎn)，所以當(dāng)OE=

1

2

BC=CE時(shí)，△BOC是直角三角形．由（2）可知：CF=

b+4

，FO=

b+4

+b，又OE=|b|，EF=

b+4

．所以CE=

2

•

b+4

=

2b+8

．即

2b+8

=|b|，進(jìn)而可求出b的值，

解答：（1）解：據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+

1

2

)2-

17

4

．
把x=0，y=-4代入，得-4=a(0+

1

2

)2-

17

4

，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=(x+

1

2

)2-

17

4

=x2+x-4．

（2）①證明：分別過點(diǎn)B、C作BM⊥y軸于點(diǎn)M，CN⊥y軸于點(diǎn)N．（如圖1）
當(dāng)b=0時(shí)，直線BC為y=x，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合．
由方程組

y=x y=x2+x-4

，
得

x1=2 y1=2

，

x2=-2 y2=-2

．
則B、C的坐標(biāo)分別為（2，2）、（-2，-2），
即BM=CN=2．
又BM⊥y軸，CN⊥y軸，
∴BM∥CN，
∴△BME∽△CNE，
即BE：CE=BM：CN，
故BE=CE．
②解：E還是線段BC的中點(diǎn)．理由如下：
如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BP⊥y軸于點(diǎn)P，CQ⊥y軸于點(diǎn)Q．
由方程組

y=x+b y=x2+x-4

，
得

x1= b+4 y1= b+4 +b

，

x2=- b+4 y2=- b+4 +b

．
則B、C的坐標(biāo)分別為(

b+4

，

b+4

+b)、(-

b+4

，-

b+4

+b)．
即BP=CQ=

b+4

．
同樣可得△BPE∽△CQE，
即BE：CE=BP：CQ，
故BE=CE．

（3）解：存在這樣的b．理由如下：如圖3
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴當(dāng)OE=

1

2

BC=CE時(shí)，△BOC是直角三角形．
過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，
由上可知CF=

b+4

，FO=

b+4

+b，
又OE=|b|，EF=

b+4

．
因此，CE=

2

•

b+4

=

2b+8

．
即

2b+8

=|b|，
解得b₁=4，b₂=-2．
故當(dāng)b=4或-2時(shí)，∠BOC是直角．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和想以及解二元二次方程組，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．