Question

如圖，AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上的一個動點，過點P作⊙O的切線，設(shè)切點為C．
（1）當點P在AB延長線上的位置如圖（1）所示時，連接AC，作∠APC的平分線，交AC于點D，請你測量出∠CDP的度數(shù)；
（2）當點P的位置發(fā)生改變時（如圖（2）），由以上的過程形成的角∠CDP的度數(shù)是否發(fā)生變化？請對你的猜想加以證明．

Answer 1

分析：（1）通過量角器可測量出∠CDP的度數(shù)；
（2）連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC，則∠OCP=90°，根據(jù)角平分線的定義得∠1=∠2，利用三角形外角性質(zhì)有∠CDP=∠A+∠2=∠A+∠1，而∠A=∠ACD，所以∠CDP=∠ACO+∠1，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠CDP=45°．

解答：解：（1）測量出∠CDP的度數(shù)為45°；

（2）∠CDP的度數(shù)不發(fā)生變化．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠1=∠2，
∴∠CDP=∠A+∠2=∠A+∠1，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACD，
∴∠CDP=∠ACO+∠1，
而∠CDP+∠ACO+∠1=180°-∠OCP=90°，
∴∠CDP=45°．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理．