【題目】已知拋物線G1:y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為(2,﹣3),且經(jīng)過點(diǎn)(4,1).

(1)求拋物線G1的解析式;
(2)將拋物線G1先向左平移3個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位后得到拋物線G2 , 且拋物線G2與x軸的負(fù)半軸相交于A點(diǎn),求A點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如果直線m的解析式為 ,點(diǎn)B是(2)中拋物線G2上的一個(gè)點(diǎn),且在對稱軸右側(cè)部分(含頂點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),直線n過點(diǎn)A和點(diǎn)B.問:是否存在點(diǎn)B,使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似?若存在,求出點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:由拋物線G1:y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為(2,﹣3),且經(jīng)過點(diǎn)(4,1),

可設(shè)拋物線G1:y=a(x﹣2)2﹣3,

把(4,1)代入得:1=4a﹣3,解得:a=1,

所以拋物線G1:y=(x﹣2)2﹣3=x2﹣4x+1


(2)解:拋物線G1:y=(x﹣2)2﹣3先向左平移3個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位后得到拋物線G2:y=(x+1)2﹣4,

令y=0,得:0=(x+1)2﹣4,解得:x=﹣3,或x=1(舍去),

所以點(diǎn)A(﹣3,0)


(3)解:直線m與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為F,E,

當(dāng)直線n與G2交點(diǎn)在x軸上方時(shí),直線n與x軸,y軸的交點(diǎn)為A,D,與拋物線交點(diǎn)B,與直線m交與點(diǎn)C,

當(dāng)直線n與G2交點(diǎn)在x軸下方時(shí),直線n1與x軸,y軸的交點(diǎn)為A,H,與拋物線交點(diǎn)B1,與直線m交與點(diǎn)L,

當(dāng)直線n與G2交點(diǎn)在x軸上方時(shí),如圖1:

由題意△CDE∽△CFA,此時(shí)有:∠CDE=∠CFA,

直線m的解析式為 ,當(dāng)x=0時(shí),y=3,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣6,

∴點(diǎn)E(0,3),點(diǎn)F(﹣6,0),

∴OF=6,OE=3,

∴tan∠CDE=tan∠CFA= ,

=

∵OA=3,

∴OD=6,

點(diǎn)D(0,6),

設(shè)直線n:y=mx+n,把D(0,6),點(diǎn)A(﹣3,0)代入得: ,

解得: ,

∴直線n:y=2x+6,

聯(lián)立直線n和拋物線G2得: ,

解得:x=3,或x=﹣3(舍去)

此時(shí)y=12,

所以:點(diǎn)B(3,12),

當(dāng)直線n與G2交點(diǎn)在x軸下方時(shí),如圖2:

由題意△HLE∽△FLA,此時(shí)有:∠ELH=∠FLA=90°,

∠EHA=∠LFA,

直線m的解析式為 ,當(dāng)x=0時(shí),y=3,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣6,

∴點(diǎn)E(0,3),點(diǎn)F(﹣6,0),

∴OF=6,OE=3,

∴tan∠EHA=tan∠LFA= ,

= ,

∵OA=3,

∴OH=6,

點(diǎn)H(0,﹣6),

設(shè)直線n:y=mx+n,把D(0,﹣6),點(diǎn)A(﹣3,0)代入得:

解得: ,

∴直線n:y=﹣2x﹣6,

聯(lián)立直線n和拋物線G2得: ,

解得:x=﹣1,或x=﹣3(舍去)

此時(shí)y=﹣4,

所以:點(diǎn)B1(﹣1,﹣4),

綜上所述:存在點(diǎn)B,使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,12)和(﹣1,﹣4)


【解析】(1)把解析式設(shè)成頂點(diǎn)式,再把另一點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式;(2)利用拋物線平移法則“左加右減,上加下減”可求出解析式;(3)分類討論,在上側(cè)和下側(cè),利用相似的判定定理逆向推理,由相似可推角相等,由角相等可得正切相等,列出方程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)y1=-x+2的圖象與反比例函數(shù)y2= 的圖象相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2m,-m).

(1)求出m值并確定反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)請直接寫出當(dāng)x<2m時(shí),y2的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在我市中小學(xué)生“我的中國夢”讀書活動(dòng)中,某校對部分學(xué)生做了一次主題為“我最喜愛的圖書”的調(diào)查活動(dòng),將圖書分為甲、乙、丙、丁四類,學(xué)生可根據(jù)自己的愛好任選其中一類.學(xué)校根據(jù)調(diào)查情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

請你結(jié)合圖中信息,解答下列問題:

(1)本次共調(diào)查了 名學(xué)生;

(2)被調(diào)查的學(xué)生中,最喜愛丁類圖書的有 人,最喜愛甲類圖書的人數(shù)占本次被調(diào)查人數(shù)的 %;

(3)在最喜愛丙類學(xué)生的圖書的學(xué)生中,女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.5倍,若這所學(xué)校共有學(xué)生1500人,請你估計(jì)該校最喜愛丙類圖書的女生和男生分別有多少人.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑BA的延長線上,∠CDA=∠CBD.

(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E,若AB=6,tan∠CDA= ,依題意補(bǔ)全圖形并求DE的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列結(jié)論中不正確的是(  )

A. 當(dāng)ABBC時(shí),它是菱形 B. 當(dāng)ACBD時(shí),它是菱形

C. 當(dāng)∠ABC90°時(shí),它是矩形 D. 當(dāng)ACBD時(shí),它是正方形

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知點(diǎn)P為∠ACB平分線上的一點(diǎn),∠ACB=60°,PDCAD,PECBE,點(diǎn)M是線段CP上的一動(dòng)點(diǎn)(不與兩端點(diǎn)C,P重合),連接DM,EM.

(1)求證:DM=EM;

(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段CP的什么位置時(shí),四邊形PDME為菱形,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC 中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D,與CA的延長線相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.

(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若 ,半徑OA=3,求AE的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知a,b,c滿足|a-|++(c-)2=0.

(1)a,b,c的值;

(2)試問以a,b,c為邊能否構(gòu)成三角形?若能,求出其周長;若不能請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,將矩形ABCD沿EF折疊,使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的C'處,點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處,C'D'交線段AE于點(diǎn)G.

(1)求證:△BC'F∽△AGC';
(2)若C'是AB的中點(diǎn),AB=6,BC=9,求AG的長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案