Question

【題目】(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝a，AB＝b．填空：

當(dāng)點(diǎn)A位于　 　時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為　 　(用含a，b的式子表示)

(2)應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝4，AB＝1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．

①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說(shuō)明理由；②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值．

(3)拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)CB的延長(zhǎng)線上， a+b；(2)①CD＝BE，理由見(jiàn)解析；②BE長(zhǎng)的最大值為5；(3)滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值為2+4．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)已知條件易證△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得CD＝BE；②由于線段BE長(zhǎng)的最大值＝線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+4；如圖2，過(guò)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．如圖3中，根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)也滿足條件，由此求得符合條件的點(diǎn)P另一個(gè)的坐標(biāo)．

(1)∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝a，AB＝b，

∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB＝a+b，

故答案為：CB的延長(zhǎng)線上，a+b；

(2)①CD＝BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB，

在△CAD與△EAB中， ，

∴△CAD≌△EAB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵線段BE長(zhǎng)的最大值＝線段CD的最大值，

由(1)知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，

∴最大值為BD+BC＝AB+BC＝5；

(3)如圖1，

∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)，

∴OA＝2，OB＝6，

∴AB＝4，

∴線段AM長(zhǎng)的最大值＝線段BN長(zhǎng)的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值為2+4；

如圖2，

過(guò)P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣4﹣＝2﹣，

∴P(2﹣，)．

如圖3中，

根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，P(2﹣，﹣)時(shí)，也滿足條件．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值為2+4．