【題目】(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,點A為線段BC外一動點,且BCa,ABb.填空:

當點A位于   時,線段AC的長取得最大值,且最大值為   (用含a,b的式子表示)

(2)應用:點A為線段BC外一動點,且BC4,AB1,如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE

請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;直接寫出線段BE長的最大值.

(3)拓展:如圖3,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(6,0),點P為線段AB外一動點,且PA2,PMPB,∠BPM90°,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標.

【答案】(1)CB的延長線上, a+b;(2)①CDBE,理由見解析;②BE長的最大值為5;(3)滿足條件的點P坐標(2,)(2,﹣),AM的最大值為2+4

【解析】

1)根據(jù)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,即可得到結(jié)論;(2根據(jù)已知條件易證△CAD≌△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得CDBE;由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值,根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果;(3)連接BM,將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PNPA2,BNAM,根據(jù)當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,即可得到最大值為2+4;如圖2,過PPEx軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得點P的坐標.如圖3中,根據(jù)對稱性可知當點P在第四象限時也滿足條件,由此求得符合條件的P另一個的坐標

(1)∵點A為線段BC外一動點,且BCa,ABb

∴當點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+ABa+b,

故答案為:CB的延長線上,a+b

(2)①CDBE

理由:∵△ABD與△ACE是等邊三角形,

ADABACAE,∠BAD=∠CAE60°,

∴∠BAD+BAC=∠CAE+BAC,

即∠CAD=∠EAB,

在△CAD與△EAB中,

∴△CAD≌△EAB(SAS),

CDBE

∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,

(1)知,當線段CD的長取得最大值時,點DCB的延長線上,

∴最大值為BD+BCAB+BC5;

(3)如圖1

∵將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN

則△APN是等腰直角三角形,

PNPA2,BNAM,

A的坐標為(2,0),點B的坐標為(60),

OA2,OB6,

AB4

∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,

∴當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,

最大值=AB+AN

ANAP2,

∴最大值為2+4

如圖2,

PPEx軸于E,

∵△APN是等腰直角三角形,

PEAE,

OEBOABAE642

P(2,)

如圖3中,

根據(jù)對稱性可知當點P在第四象限時,P(2,﹣)時,也滿足條件.

綜上所述,滿足條件的點P坐標(2)(2,﹣),AM的最大值為2+4

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所以t=土9,因為2m2n20,所以2m2n29.

上面這種方法稱為換元法,把其中某些部分看成一個整休,并用新字母代替(即換元),則能使復雜的問題簡單化.

根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容,解決下列問題,并寫出解答過程.

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