Question

設x₁，x₂是方程x²﹣x﹣1=0的兩個根，則代數(shù)式x₁³+2x₂+x₁•x₂的值為__________．

Answer 1

0．

【考點】根與系數(shù)的關系．

【專題】計算題．

【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=﹣1，再利用x₁是方程x²﹣x﹣1=0的根得到x₁²﹣x₁﹣1=0，則x₁²=x₁+1，接著變形得到x₁³=2x₁+1，則x₁³+2x₂+x₁•x₂=2（x₁+x₂）+2x₁x₂，然后利用整體代入得方法計算．

【解答】解：根據(jù)題意得x₁+x₂=1，x₁x₂=﹣1，

∵x₁是方程x²﹣x﹣1=0的根，

∴x₁²﹣x₁﹣1=0，

∴x₁²=x₁+1，

∴x₁³=x₁（x₁+1）=x₁²+x₁=x₁+1+x₁=2x₁+1，

∴x₁³+2x₂+x₁•x₂=2x₁+1+2x₂+x₁•x₂=2（x₁+x₂）+2x₁x₂=2×1+2×（﹣1）=0．

故答案為0．

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=，x₁x₂=．也考查了一元二次方程解的定義．