Question

已知：如圖，拋物線y=-

3

4

x2+3與x軸交于點A，點B，與直線y=-

3

4

x+b相交于點B，點C，直線y=-

3

4

x+b與y軸交于點E．
（1）寫出直線BC的解析式．
（2）求△ABC的面積．
（3）若點N在線段BC上以每秒1個單位長度的速度從B向C運動（不與B、C重合），1秒后，點M在射線BA上以每秒2個單位長度的速度從B向A運動．設(shè)點N運動時間為t秒，請求出t為何值時，△BOE與以B、M、N為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）利用拋物線，令y=0，解方程求出點A、B的坐標，然后把點B的坐標代入直線BC的解析式求出b的值，即可得解；
（2）根據(jù)點A、B的坐標求出AB的長度，再把拋物線解析式與直線BC的解析式聯(lián)立求解得到點C的坐標，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；
（3）利用直線BC的解析式求出點E的坐標，然后求出OB、OE的長度，再利用勾股定理列式求出BE的長度，用t表示出BM、BN的長度，然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似分兩種情況列出比例式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則-

3

4

x²+3=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，點A（-2，0），B（2，0），
所以，-

3

4

×2+b=0，
解得b=

3

2

，
所以，直線BC的解析式為y=-

3

4

x+

3

2

；

（2）∵點A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
聯(lián)立

y=- 3 4 x+ 3 2 y=- 3 4 x2+3

，
解得

x1=-1 y1= 9 4

，

x2=2 y2=0

（為點B坐標，舍去），
所以，點C的坐標為（-1，

9

4

），
所以，△ABC的面積=

1

2

×4×

9

4

=

9

2

；

（3）存在．
令x=0，則y=

3

2

，
所以，點E的坐標為（0，

3

2

），
所以，OE=

3

2

，
在Rt△OBE中，BE=

OB2+OE2

=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，
設(shè)t秒時，△BOE與以B、M、N為頂點的三角形相似，則BN=t，BM=2（t-1），
∵∠OBE=∠MBN，
∴

BM

OB

=

BN

BE

或

BM

BE

=

BN

OB

，
即

2(t-1)

2

=

t

5 2

或

2(t-1)

5 2

=

t

2

，
解得t=

5

3

或t=

8

3

，
故存在t=

5

3

或t=

8

3

時，△BOE與以B、M、N為頂點的三角形相似．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了求拋物線與x軸的交點坐標，聯(lián)立連函數(shù)解析式求交點坐標，三角形的面積，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（3）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等判定兩三角形相似，列出比例式是解題的關(guān)鍵，注意要分兩種情況．