Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，CD交AM，BN于點(diǎn)D，C，DO平分∠ADC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半徑R．

Answer 1

（1）過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=OA，由OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，即可作出判斷；（2）6

解析試題分析：（1）過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=OA，由OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，即可作出判斷；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥AD，AB⊥BC，從而可證得四邊形ABFD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BF，AB=DF，從而可得FC的長(zhǎng)，再根據(jù)切線的性質(zhì)求得DC的長(zhǎng)，在Rt△DFC中，根據(jù)勾股定理即可求得DF的長(zhǎng)，從而求得結(jié)果.
（1）過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，

∵AM切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，
∵OA為⊙O的半徑，
∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴AD=BF，AB=DF，
又∵AD=4，BC=9，
∴FC=9﹣4=5，
∵AM，BN，DC分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=AD+BC=4+9=13，
在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC²，
∴DF==12，
∴AB=12，
∴⊙O的半徑R是6．
考點(diǎn)：切線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理
點(diǎn)評(píng)：在證切線的問(wèn)題中，一般先連接切點(diǎn)和圓心，再證明垂直；同時(shí)熟記切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.