Question

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（- ，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經過AB、CD兩邊的中點．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜ 3 ）

①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

②連接FC，以點F為旋轉中心，將△FEC按順時針方向旋轉180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

Answer 1

解：（1）由題意得AB的中點坐標為（－3 ，0），CD的中點坐標為（0，3），

  分別代入y=ax²+b，得，解得， 。

∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=－x²＋3。                                    

（2）①存在。如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，

∴ �！唷螩=60°，∠CBE=30°�！郋C=BC=，DE=。                               

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°�！唷螦DC=180°-60°=120°

要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角。

（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。

在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。

又∵E（t，3），F(xiàn)（t，－t²+3），∴EF=3－（－t²＋3）=t²�！鄑²=1。

∵t＞0，∴t=1 。                                   

此時，∴。

又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。                                 

（II）若∠DFA=90°，可證得△DEF∽△FBA，則。

設EF=m，則FB=3－m。

∴ ，即m²－3m＋6=0，此方程無實數(shù)根�！啻藭rt不存在。                                       

（III）由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此時t不存在。                             

綜上所述，存在t=1，使△ADF與△DEF相似。

②。