Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)E，A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求出a、b、c的值；
（2）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線CD的解析式，然后結(jié)合圖形設(shè)出K點(diǎn)的坐標(biāo)（t，0），表達(dá)出H點(diǎn)和G點(diǎn)的坐標(biāo)，列出HG關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；
（3）需要討論解決，①若線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3-n；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n-3，然后根據(jù)已知條件在求n的坐標(biāo)就容易了
②若線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對角線時(shí)，由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對稱”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），過P點(diǎn)作NP⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，結(jié)合已知條件再求n的坐標(biāo)就容易了．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-1）（x+3）
∵拋物線交y軸于點(diǎn)E（0，-3），將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得a=1
∴所求函數(shù)表達(dá)式為y=（x-1）（x+3），
即y=x²+2x-3；

（2）∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（1，0），
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（5，0），
∴將點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=-x+m，得m=5，
∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5，
設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+5），G點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t²+2t-3），
∵點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t²+2t-3）=-t²-3t+8=-（t+

3

2

）²+

41

4

，
∵-3＜-

3

2

＜1，
∴當(dāng)t=-

3

2

時(shí)，線段HG的長度有最大值

41

4

；

（3）∵點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（5，0），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0），
∵直線l過點(diǎn)F且與y軸平行，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3，
∵點(diǎn)M在直線l上，點(diǎn)N在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，m），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n²+2n-3），
∵點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)C（5，0），
∴AC=8，
分情況討論：
①若線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8．
當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，12），
當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n-3，
∴n-3=8，
解得n=11，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（11，140），
②若線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對角線，由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對稱”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）
過P點(diǎn)作NP⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，
將x=-1代入y=x²+2x-3，得y=-4，
過點(diǎn)N作直線NM交直線l于點(diǎn)M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，
∴坐標(biāo)（-1，-4）的點(diǎn)N符合條件，
∴當(dāng)N的坐標(biāo)為（-5，12），（11，140），（-1，-4）時(shí)，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．