Question

在矩形ABCD中，兩條對角線AC、BD相交于O，∠ACB=60°，AD=4
（1）判斷△AOD的形狀；
（2）求對角線BD的長及AB的長．

Answer 1

（1）解：△AOD是等邊三角形，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OD=OB=OC，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠DAO=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形；

（2）解：∵△AOD是等邊三角形，
∴∠ADO=60°，AD=OA=OD=4，
由（1）知，OB=OD=BD，
即BD=2OD=8，
在Rt△DAB中，由勾股定理得：AB===4．
即BD=8，AB=4．
分析：（1）根據矩形的性質得出∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，推出OA=OD=OB=OC，求出∠CAB=30°，∠DAO=60°，根據等邊三角形的判定推出即可；
（2）根據等邊三角形的性質得出OD=AD=4，求出BD=2OD=8，根據勾股定理求出AB即可．
點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，矩形的性質，勾股定理等知識點，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．