【題目】正方形ABCD中,點(diǎn)P為直線BC上的一點(diǎn),DP的垂直平分線交射線DCM,交DPE,交射線ABN.

(1)當(dāng)點(diǎn)MCD邊上時(shí)如圖①,易證PM-CP=AN;

(2)當(dāng)點(diǎn)MCD邊延長(zhǎng)線上如圖、圖的位置時(shí),上述結(jié)論是否成立?寫出你的猜想,并對(duì)圖給予證明.

【答案】圖②:PM+CP=AN;圖③:PM-CP=AN,證明見解析.

【解析】(1)過NNQAD,則NQ=AD,AN=DQ,易證∠MNQ=∠PDC,即可證明△MNQ≌△PDC,可得QM=PC,再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DM=PM,即可解題;
(2)①作MQBF,則AQ=DM,QM=AD=CD,易證∠NMQ=∠MDE,即可證明△NMQ≌△PDC,可得QN=PC,再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得PM=AQ,即可解題;
③作NQBC,則NQ=AD=CD,AN=DQ,易證∠NMD=∠CPD,即可證明△CDP≌△EDM,可得QM=CP,再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DM=PM,即可解題.

證明:(1)過NNQAD,則NQ=AD,AN=DQ

MNPD垂直平分線,
DM=PM,
∵∠NMQ+∠MNQ=90°,∠NMQ+∠PDC=90°,
∴∠MNQ=∠PDC,
∵在△MNQ和△PDC中,

MQN=∠PCD=90°,NQ=CD,∠MNQ=∠PDC

∴△MNQ≌△PDC,(ASA)
QM=PC,
DM=DQ+QM,
PM=AN+PC,即PM-CP=AN;
(2)①M在圖②位置時(shí),不成立,新結(jié)論為AN=PM+CP
理由:作MQBF,則AQ=DM,QM=AD=CD,∠QMD=90°,

EFPD垂直平分線,∴DM=PM
PM=AQ,
∵∠NMQ+∠DME=90°,∠DME+∠MDE=90°,
∴∠NMQ=∠MDE,
∵在△NMQ和△PDC中,

NMQ=∠MDE,QM=CD,∠MQN=∠DCP=90°

∴△NMQ≌△PDC,(ASA)
QN=PC,
AN=AQ+QN
AN=PM+CP;
M在圖③位置時(shí),成立,
理由:作NQBC,則NQ=AD=CD,AN=DQ

EMPD的垂直平分線,
DM=PM,
∵∠NMD+∠MDE=90°,∠CPD+∠MDE=90°,
∴∠NMD=∠CPD
∵在△CDP和△EDM中,

NMD=∠CPD,∠MQN=∠PCD,CD=NQ

∴△CDP≌△EDM,(AAS)
QM=CP,
DM=QM+DQ,
PM=AN+CP,即PM-CP=AN

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又因?yàn)椤?=68°,

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