Question

已知拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）．
（1）求證：拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）一定與x軸有兩個不同的交點；
（2）設（1）中的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
①求點A、B的坐標；
②過點D作DH⊥y軸于點H，若DH=HC，求a的值和直線CD的解析式．

Answer 1

（1）證明：令ax²-2ax-3a=0．
∵a＜0，
∴△=（-2a）²-4a•（-3a）=16a²＞0，
∴拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）一定與x軸有兩個不同的交點；

（2）解：①令y=0，得 ax²-2ax-3a=0．
∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵點A在點B的左側∴點A的坐標（-1，0），點B的坐標（3，0）
②由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a．
∴C（0，-3a）．
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a），
∴DH=HC=-4a-（-3a）=-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
把點C，點D的坐標分別代入得：，
解得 ．
故直線CD的解析式為：y=x+3．
分析：（1）令令ax²-2ax-3a=0，證明出△＞0即可說明拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）一定與x軸有兩個不同的交點；
（2）①令y=0，得 ax²-2ax-3a=0，根據(jù)a≠0，解出一元二次方程，即可得到點A、B的坐標；
②由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，求出C點坐標（0，-3a），同理求出D點坐標為（1，-4a），進而證明出DH=HC=-a=1，求出a的值，設直線CD的解析式為y=kx+b，列出k和b的方程組求出k和b，直線CD的解析式即可求出．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是掌握二次函數(shù)圖象得性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，此題難度不大．