Question

（2013•天津）已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線l，頂點(diǎn)為點(diǎn)M．若自變量x和函數(shù)值y₁的部分對應(yīng)值如下表所示：
（Ⅰ）求y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）若經(jīng)過點(diǎn)T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動點(diǎn)，線段AM的垂直平分線交直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對稱點(diǎn)為P，記P（x，y₂）．
（1）求y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時，若對于同一個x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范圍．

x	…	-1	0	3	…
y1=ax2+bx+c	…	0	9 4	0	…

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)物線經(jīng)過點(diǎn)（0，

9

4

）得出c的值，再把點(diǎn)（-1，0）、（3，0）代入拋物線y₁的解析式即可得出y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（II）先根據(jù)（I）中y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
①記直線l與直線l′交于點(diǎn)C（1，t），當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C不重合時，由已知得，AM與BP互相垂直平分，故可得出四邊形ANMP為菱形，所以PA∥l，再由點(diǎn)P（x，y₂）可知點(diǎn)A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y₂-t|，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（1，y₂），故QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，在Rt△PQM中，根據(jù)勾股定理即可得出y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再由當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②據(jù)題意，借助函數(shù)圖象：當(dāng)拋物線y₂開口方向向上時，可知6-2t＞0，即t＜3時，拋物線y₁的頂點(diǎn)M（1，3），拋物線y₂的頂點(diǎn)（1，

t+3

2

），由于3＞

t+3

2

，所以不合題意，當(dāng)拋物線y₂開口方向向下時，6-2t＜0，即t＞3時，求出y₁-y₂的值；若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要拋物線方向及且頂點(diǎn)（1，

3-t

2

）在x軸下方，因?yàn)?-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞

11

3

，符合題意；若3t-11=0，y₁-y₂=-

1

3

＜0，即t=

11

3

也符合題意．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，

9

4

），
∴c=

9

4

．
∴y₁=ax²+bx+

9

4

，
∵點(diǎn)（-1，0）、（3，0）在拋物線y₁=ax²+bx+

9

4

上，
∴

a-b+ 9 4 =0 9a+3b+ 9 4 =0

，解得

a=- 3 4 b= 3 2

，
∴y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y₁=-

3

4

x²+

3

2

x+

9

4

；

（II）∵y₁=-

3

4

x²+

3

2

x+

9

4

，
∴y₁=-

3

4

（x-1）²+3，
∴直線l為x=1，頂點(diǎn)M（1，3）．
①由題意得，t≠3，
如圖，記直線l與直線l′交于點(diǎn)C（1，t），當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合時，
∵由已知得，AM與BP互相垂直平分，
∴四邊形ANMP為菱形，
∴PA∥l，
又∵點(diǎn)P（x，y₂），
∴點(diǎn)A（x，t）（x≠1），
∴PM=PA=|y₂-t|，
過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（1，y₂），
∴QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，
在Rt△PQM中，
∵PM²=QM²+PQ²，即（y₂-t）²=（y₂-3）²+（x-1）²，整理得，y₂=

1

6-2t

（x-1）²+

t+3

2

，
即y₂=

1

6-2t

x²-

1

3-t

x+

10-t2

6-2t

，
∵當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，
∴P（1，

t+3

2

），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，
∴y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y₂=

1

6-2t

x²-

1

3-t

x+

10-t2

6-2t

（t≠3）；

②根據(jù)題意，借助函數(shù)圖象：
當(dāng)拋物線y₂開口方向向上時，6-2t＞0，即t＜3時，拋物線y₁的頂點(diǎn)M（1，3），拋物線y₂的頂點(diǎn)（1，

t+3

2

），
∵3＞

t+3

2

，
∴不合題意，
當(dāng)拋物線y₂開口方向向下時，6-2t＜0，即t＞3時，
y₁-y₂=-

3

4

（x-1）²+3-[

1

6-2t

（x-1）²+

t+3

2

]
=

3t-11

4(3-t)

（x-1）²+

3-t

2

，
若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，
只要拋物線y=

3t-11

4(3-t)

（x-1）2+

3-t

2

開口方向向下，且頂點(diǎn)（1，

3-t

2

）在x軸下方，
∵3-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞

11

3

，符合題意；
若3t-11=0，y₁-y₂=-

1

3

＜0，即t=

11

3

也符合題意．
綜上，可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范圍是t≥

11

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法二次函數(shù)解的解析式、勾股定理及二次函數(shù)的性質(zhì)，解答此類題目時要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．