Question

設(shè)拋物線y=x²+（2a+1）x+2a+的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a¹⁸+323a^-6的值為_(kāi)_______．

Answer 1

5796
分析：利用函數(shù)與一元二次方程的結(jié)合點(diǎn)：拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于△=0，由此可以求得a²-a-1=0；然后利用韋達(dá)定理和完全平方和公式a²+b²=（a+b）²-2ab，接下來(lái)用了立方和公式，提公因式，用a12+來(lái)表示所求的代數(shù)式．這種各種公式共同應(yīng)用的題比較常見(jiàn)．
解答：∵拋物線y=x²+（2a+1）x+2a+的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴∴△=（2a+1）²-4×1×（2a+）=0，即a²-a-1=0，
∵a≠0，
∴a-=1，
a²+=（a-）²+2
=3，
a⁴+=（a²+）²-2
=7，
a⁸+=（a⁴+）²-2
=47，
a¹²+=（a⁴+）（a⁸+-1）
=7×（47-1）
=322，
a¹⁸+323a^-6
=（a¹⁸+）+
=a⁶（a¹²+）+
=322a⁶+
=322（a⁶+），
a⁶+
=（a²+）（a⁴+-1）
=3×（7-1）
=18．
∴322（a⁶+）=322×18=5796．
即a¹⁸+323a^-6的值為5796．
故答案是：5796．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），在計(jì)算中要靈活運(yùn)用完全平方公式和立方和公式，計(jì)算較復(fù)雜，要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．