Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD.

（1）求弦AB的長；

（2）當(dāng)∠D=20°時，求∠BOD的度數(shù)；

（3）當(dāng)AC的長度為多少時，以點A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程.

Answer 1

解：（1）如圖，過O作OE⊥AB于E點.

在Rt△BOE中， OB=2，∠B=30°

所以 BE=OBsin30°=.    ………………2分

所以AB=2BE=2.                 ………………3分

（2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，

∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.  

∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.                    ………………4分

又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，

∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°    ………………5分

∴∠BOD=2∠A=100°.                      ………………6分

解法二：如圖，連接OA.

∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，       

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.                  ………………4分

又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，        ………………5分

∴∠BOD=2∠DAB=100°.                         ………………6分

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.    ………………7分

∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.     ………………8分

此時，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.

∴△DAC∽△BOC.                                    ………………9分

∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.            ………………10分