Question

如圖，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向經(jīng)過點(diǎn)A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)．

（1）當(dāng)EF與斜邊BC不相交時(shí)，請(qǐng)證明EF=BE+CF（如圖1）；
（2）如圖2，當(dāng)EF與斜邊BC這樣相交時(shí)，其他條件不變，證明：EF=BE-CF；
（3）如圖3，當(dāng)EF與斜邊BC這樣相交時(shí)，猜想EF、BE、CF之間的關(guān)系，不必證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：幾何綜合題,探究型

分析：（1）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；
（2）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；
（3）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，

∠BEA=∠AFC ∠EBA=∠FAC AB=AC

∴△BEA≌△AFC，
∴EA=FC，BE=AF，
∴EF=EA+AF=BE+CF．

（2）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，

∠EBA=∠FAC ∠BEA=∠CFA AB=AC

∴△BEA≌△AFC，
∴EA=FC，BE=AF，
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF．

（3）EF=CF-BE，
理由是：：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，

∠EBA=∠FAC ∠BEA=∠CFA AB=AC

∴△BEA≌△AFC，
∴EA=FC，BE=CF，
∵EF=EA-AF，
∴EF=CF-BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，證明過程類似．