Question

如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于E，交直線DC于點(diǎn)F，以CF為鄰邊作平行四邊形ECFM．
（1）求證：四邊形ECFM為菱形；
（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，求∠BDG的度數(shù)；
（3）如圖3，當(dāng)∠ABC=120°時(shí)，求∠BDM的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形就可以得出AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)就可以得出∠BAE=∠BEA，得出EC=CF就可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，連接BG，CG，由（1）的結(jié)論就可以得出四邊形EMFC是正方形，就可以得出△BCG≌△DFG，就可以得出GB=GD，∠BGC=∠DGF，就可以得出∠BGD=∠CGF，從而得出△BGD為等腰直角三角形，就可以得出結(jié)論；
（3）如圖3，連接MC，MB，根據(jù)條件可以得出△CMF和△ECM是等邊三角形，由其性質(zhì)就可以得出△BCM≌△DFM，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE=∠EFC，∠DAE=∠CEF．
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CE=CF．
∵四邊形ECFM是平行四邊形，
∴平行四邊形ECFM是菱形；

（2）如圖2，連接BG，CG．
當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形，四邊形ECFM就為正方形．
∴CE=CF．
∴∠CGF=90°．
∵點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，
∴GE=GF=GC．∠GCB=∠GFD=45°．
∵AE平分∠BAD，
∴AB=BE=CD．
∴BC=DF．
在△BCG和△DFG中

BC=DF ∠GCB=∠GFD GC=GF

，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴GB=GD，∠BGC=∠DGF，
∴∠BGC-∠DCG=∠DGF-∠DCG，
即∠BGD=∠CGF=90°，
∴△BGD為等腰直角三角形．
∴∠BGD=45°．
答：∠BGD=45°．

（3）連接MC，MB，當(dāng)∠ABC=120°時(shí)，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=60°．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠CFE=30°．
∵四邊形ECFM是菱形，
∴∠MFC=60°，
∴△CMF和△ECM是等邊三角形．
∴MC=MF，∠BCM=∠DFM=60°．
∵AB=BE=CD，
∴BC=DF．
在△BCM和△DFM中

MC=MF ∠BCM=∠DFM BC=DF

，
∴△BCM≌△DFM（SAS），
∴BM=DM，∠BMC=∠DMF，
∴∠BMC-∠DMC=∠DMF-∠DMC，
即∠DMB=∠CMF=60°，
∴△BDM是等邊三角形，
∴∠BDM=60°．
答：∠BDM=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵，作輔助線是難點(diǎn)．