Question

將矩形置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊壓平，使點(diǎn)落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為        ，點(diǎn)的坐標(biāo)為       ；

（2）隨著的變化，試探索：點(diǎn)能否恰好落在軸上？若能，請(qǐng)求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖9，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，拋物線（且為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部，求的取值范圍.

 

Answer 1

解:(1) 點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；…………………………………………3分

（2）點(diǎn)能恰好落在軸上.理由如下:

四邊形為矩形

，…………………………………………………4分

由折疊的性質(zhì)可得：，，

如圖9-1，假設(shè)點(diǎn)恰好落在軸上，在中，由

勾股定理可得，

則有 ……………………5分

在中，

即

解得 ……………………………………7分

（3）解法一：如圖9-2，過(guò)點(diǎn)作于，

分別與 、交于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作于

點(diǎn)，則，

在中，由勾股定理可得

………………………8分

在中，，

 ，

解得 …………………………………………………9分

，，（，－1）

，

∽

即解得

 

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為…………………………………………………………………………10分

此拋物線的頂點(diǎn)必在直線上   ……………………………………………………11分

又拋物線的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部

此拋物線的頂點(diǎn)必在上

     ………………………………………………………………………12分

解得

故的取值范圍為   ……………………………………13分

解法二：如圖9-3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別與

、交于點(diǎn)、，設(shè)與相交于點(diǎn).

，，

≌（AAS）

，

由勾股定理可得

（以下過(guò)程同解法一）

解法三：如圖9-4，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別與、

交于點(diǎn)、，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有

，

在中，由勾股定理可得

…………………………………8分

（以下過(guò)程同解法一）

解法四：如圖9-5，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

、交軸于點(diǎn)，可仿第（2）小題兩次利用勾股定

理求出的值，也可以利用

∽求出的值.   …………………………9分 

（以下過(guò)程同解法一）