Question

將矩形置于平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點在上，將矩形沿折疊壓平，使點落在坐標平面內，設點的對應點為點.

（1）當時，點的坐標為        ，點的坐標為       ；

（2）隨著的變化，試探索：點能否恰好落在軸上？若能，請求出的值；若不能，請說明理由.

（3）如圖9，若點的縱坐標為，拋物線（且為常數）的頂點落在的內部，求的取值范圍.

 

Answer 1

解:(1) 點的坐標為，點的坐標為；…………………………………………3分

（2）點能恰好落在軸上.理由如下:

四邊形為矩形

，…………………………………………………4分

由折疊的性質可得：，，

如圖9-1，假設點恰好落在軸上，在中，由

勾股定理可得，

則有 ……………………5分

在中，

即

解得 ……………………………………7分

（3）解法一：如圖9-2，過點作于，

分別與 、交于點、，過點作于

點，則，

在中，由勾股定理可得

………………………8分

在中，，

 ，

解得 …………………………………………………9分

，，（，－1）

，

∽

即解得

 

點的縱坐標為…………………………………………………………………………10分

此拋物線的頂點必在直線上   ……………………………………………………11分

又拋物線的頂點落在的內部

此拋物線的頂點必在上

     ………………………………………………………………………12分

解得

故的取值范圍為   ……………………………………13分

解法二：如圖9-3，過點作于點，分別與

、交于點、，設與相交于點.

，，

≌（AAS）

，

由勾股定理可得

（以下過程同解法一）

解法三：如圖9-4，過點作于點，分別與、

交于點、，作交延長線于點，則有

，

在中，由勾股定理可得

…………………………………8分

（以下過程同解法一）

解法四：如圖9-5，過點作交的延長線于點

、交軸于點，可仿第（2）小題兩次利用勾股定

理求出的值，也可以利用

∽求出的值.   …………………………9分 

（以下過程同解法一）