Question

已知：如圖，⊙O與⊙O′內(nèi)切于點(diǎn)B，BC是⊙O的直徑，BC=6，BF為⊙O′的直徑，BF=4，⊙O的弦BA交⊙O′于點(diǎn)D，連接DF、AC、CD．
（1）求證：DF∥AC；
（2）當(dāng)∠ABC等于多少度時(shí)，CD與⊙O′相切并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的前提下，連接FA交CD于點(diǎn)E，求AF、EF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證法一：∵BC是⊙O的直徑，BF是⊙O′的直徑，
∴∠BDF=∠BAC=90°，
∴DF∥AC；
證法二：過點(diǎn)B作兩圓的外公切線MN，
∵∠MBA=∠DFB，∠MBA=∠ACB，
∴∠DFB=∠ACB；

（2）解：當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，CD與⊙O相切．
法一：連接O′D，
∵⊙O′的直徑BF=4，⊙O的直徑BC=6，
∴O′F=2；
在Rt△BFD中，由BF=4，∠ABC=30°，
∴DF=2，
∴DF=O′F=FC=2，
∴△O′DC為直角三角形，
∴∠O′DC=90°；
又∵點(diǎn)D在⊙O′上，
∴CD與⊙O’相切；
法二：∵⊙O’的直徑BF為4，⊙O的直徑BC為6，
∴FC=2，
在Rt△BDF中，BF=4，∠ABC=30°，
∴DF=2，∠BFD=60°，
∴DF=FC，
∴∠DCB=∠FDC=30°；
連接O′D，∠DO′C=2∠B=60°，
∴∠O′DC=90°，即O′D⊥DC，
又∵點(diǎn)D在⊙O⊙O′上，
∴CD與⊙O⊙O′相切；

（3）解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，BC=6，
∴AC=3，AB=3；
在Rt△DBF中，∠ABC=30°，BF=4，
∴DF=2，BD=2，
∴AD=；
在Rt△ADF中，AF²=AD²+DF²=7；
∵DF∥AC，
∴EF：AE=DF：AC=，
∴EF：AF=，
∴EF=，AF=．
分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，就可以證出結(jié)論；
（2）當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，CD與⊙O相切．連接O′D，證明CD與⊙O’相切可以證明∠O′DC=90°就可以；
（3）在Rt△ADF中根據(jù)勾股定理就可以求出AF的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得EF的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及切線的證明，證明經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)，且垂直于這條半徑．