Question

【題目】邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交射線CB于點(diǎn)F，連結(jié)CE．

（1）若點(diǎn)F在邊BC上（如圖）；

①求證：CE=EF；

②若BC=2BF，求DE的長(zhǎng)．

（2）若點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，BC=2BF，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②DE=；（2）DE=.

【解析】

（1）①根據(jù)正方形的軸對(duì)稱性可得△ABE≌△CBE，從而可得∠BAE=∠BCE，再根據(jù)∠ABC=∠AEF=90°，可得∠BAE=∠EFC，繼而可得∠BCE=∠EFC，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得CE=EF；

②過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得，再根據(jù)四邊形CDMN是矩形，△DME為等腰直角三角形，繼而可求得ED的長(zhǎng)；

（2）如圖所示：過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，由正方形的對(duì)稱性可得△ABE≌△CBE，從而得∠BAE=∠BCE，繼而由已知可得CE=EF，可得FN=CN，根據(jù)BC=2BF，可得FC=a，繼而可得EN=BN=a，由此即可求得DE=a．

（1）①∵正方形ABCD關(guān)于BD對(duì)稱，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE．

又∵∠ABC=∠AEF=90°，

∴∠BAE=∠EFC，

∴∠BCE=∠EFC，

∴CE=EF；

②過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，

∵CE=EF，

∴N是CF的中點(diǎn)，

∵BC=2BF，

∴，

又∵四邊形CDMN是矩形，△DME為等腰直角三角形，

∴CN=DM=ME，

∴ED=DM=CN=a；

（2）如圖所示：過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，

∵正方形ABCD關(guān)于BD對(duì)稱，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE．

又∵∠ABF=∠AEF=90°，

∴∠BAE=∠EFC，

∴∠BCE=∠EFC，

∴CE=EF．

∴FN=CN．

又∵BC=2BF，

∴FC=a，

∴CN=a，

∴EN=BN=a，

∴DE=a．