Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿A-B-C-D的路線作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間；
（2）設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
①當(dāng)t=5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若△OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）．

Answer 1

分析：本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，需要由易到難，逐步解答，（1）、（2）①比較簡(jiǎn)單，解答這兩個(gè)問題，可以幫助我們理解題意，搞清楚題目數(shù)量關(guān)系；
②由于動(dòng)點(diǎn)P的位置有三種可能，需要表達(dá)分段函數(shù)．

解答：解：（1）P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間=（3+5+3）÷1=11（秒）

（2）①當(dāng)t=5時(shí)，P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC上，
此時(shí)A點(diǎn)到E點(diǎn)的時(shí)間=10秒，AB+BP=5，
∴BP=2
過點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，則PE=AB=3，AE=BP=2
∴OE=OA+AE=10+2=12
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，3）．
②分三種情況：
i.0＜t≤3時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t，AP=t
∴s=

1

2

×2t×t=t²
ii.3＜t≤8時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t
∴s=

1

2

×2t×3=3t
iii.8＜t＜11時(shí)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t，AB+BC+CP=t
∴DP=（AB+BC+CD）-（AB+BC+CP）=11-t
∴s=

1

2

×2t×（11-t）=-t²+11t
綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：
當(dāng)0＜t≤3時(shí)，s=t²；
當(dāng)3＜t≤8時(shí)，s=3t；
當(dāng)8＜t＜11時(shí)，s=-t²+11t．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)與矩形性質(zhì)的綜合題，也是動(dòng)態(tài)幾何問題，需要從運(yùn)動(dòng)中找規(guī)律，分類討論．