Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結(jié)論：①=；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S_△ABF=S_△ACD，其中正確的結(jié)論序號是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③
4. D.
   ①④

Answer 1

B
分析：首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BA=BC，繼而證得 =正確；由點D是AB的中點，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，繼而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=AB，即可求得AF=AB；則可得S_△ACD=S_△ABC，S_△ABF=S_△ABC．
解答：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴=，
∵BA=BC，
∴=，
故①正確；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，點D是AB的中點，
∴BD=AB=CB，
∵tan∠BCD==，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，
∵==，
∴FG=FB，
∵GE≠BF，
∴點F不是GE的中點．
故②錯誤；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=AC，
∵AC=AB，
∴AF=AB，
故③正確；
∵BD=AB，AF=AC，
∴S_△ADF=S_△BDF，S_△ADF=S_△ACD，
S_△ACD=S_△ABC，S_△ABF=S_△ABC，
∴S_△ABF≠S_△ACD，
故④錯誤．
故選B．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．