Question

國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，某環(huán)保節(jié)能設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)品供不應(yīng)求．若該企業(yè)的某種環(huán)保設(shè)備每月的產(chǎn)量保持在一定的范圍，每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元．已知這種設(shè)備的月產(chǎn)量x（套）與每套的售價y₁（萬元）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)₁=170-2x，月產(chǎn)量x（套）與生產(chǎn)總成本y₂（萬元）存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）直接寫出y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求月產(chǎn)量x的范圍；
（3）當月產(chǎn)量x（套）為多少時，這種設(shè)備的利潤W（萬元）最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y₂=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根據(jù)題中條件“每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元”列出不等式組求解月產(chǎn)量x的范圍；
（3）根據(jù)等量關(guān)系“設(shè)備的利潤=每臺的售價×月產(chǎn)量-生產(chǎn)總成本”列出函數(shù)關(guān)系式求得最大值．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y₂=kx+b，把坐標（30，1400）（40，1700）代入，

30k+b=1400 40k+b=1700

解得：

k=30 b=500

∴函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)₂=30x+500；

（2）依題意得：

500+30x≤50x 170-2x≥90

，
解得：25≤x≤40；

（3）∵W=x•y₁-y₂=x（170-2x）-（500+30x）=-2x²+140x-500
∴W=-2（x-35）²+1950
∵25＜35＜40，
∴當x=35時，W_最大=1950
答：當月產(chǎn)量為35件時，利潤最大，最大利潤是1950萬元．

點評：本題考查了函數(shù)關(guān)系式及其最大值的求解，同時還有自變量取值范圍的求解．