Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交底邊BC于D．

（1）求證：BD=CD；

（2）若AB=3，cos∠ABC=，在腰AC上取一點E使AE=，試判斷DE與⊙O的位置關系，并證明．

　

Answer 1

【考點】切線的判定；等腰三角形的性質；圓周角定理．

【專題】證明題．

【分析】（1）連結AD，如圖，根據圓周角角定理，由AB為直徑得∠ADB=90°，然后根據等腰三角形的性質可得BD=CD；

（2）連結OD，如圖，在Rt△ABD中，先利用余弦定義計算出BD=AB=1，則Cd=1，再利用勾股定理計算出AD=2，則有=，加上∠DAE=∠CAD，于是可判斷△ADE∽△ACD，所以∠AED=∠ADC=90°，接著證明OD為△ABC的中位線得到OD∥AC，所以OD⊥DE，則根據切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線．

【解答】（1）證明：連結AD，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

而AB=AC，

∴BD=CD；

（2）解：DE與⊙O相切．理由如下：

連結OD，如圖，

在Rt△ABD中，∵cos∠ABD==，

∴BD=AB=×3=1，

∴AD==2，CD=1，

∵=， ==，

∴=，

而∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠AED=∠ADC=90°，

∴DE⊥AC，

∵OA=OB，BD=CD，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線．

【點評】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理和等腰三角形的性質．