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如圖，拋物線y=ax2+2ax+3與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A和點B分別在x軸的正、負半軸上），cot∠OCA=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平行于x軸的直線l與拋物線交于點E、F（點F在點E的左邊），如果四邊形OBFE是平行四邊形，求點E的坐標．

【答案】分析：（1）由于拋物線y=ax2+2ax+3與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A和點B分別在x軸的正、負半軸上），cot∠OCA=3．由此可以得C（0，3，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，由于由此可以求出OA，然后求出A的坐標，最后把點A坐標代入解析式即可確定拋物線的解析式；
（2）根據拋物線y=-x2-2x+3可以得到其對稱軸是直線x=-1，又A（1，0），由此求出點B（-3，0），又四邊形OBFE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到EF=OB，由此可以求出點E的橫坐標，然后設點代入解析式中即可求出y，也就求出E的坐標．
解答：解：（1）由題意，得C（0，3）（1分）
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∵
∴OA=1，
∴A（1，0）（2分）
∵點A在拋物線y=ax2+2ax+3上，
∴a+2a+3=0（1分）
解得a=-1（1分）
∴拋物線的解析式是y=-x2-2x+3（1分）

（2）∵拋物線y=-x2-2x+3的對稱軸是直線x=-1（1分）
又A（1，0）
∴點B（-3，0）（1分）
∵四邊形OBFE是平行四邊形
∴EF=OB=3，
∴點E的橫坐標為．（1分）
設點（1分）
∴（1分）
∴點（1分）
點評：此題是二次函數的綜合題，分別考查了待定系數法確定函拋物線的解析式、解直角三角形、拋物線的性質及平行四邊形的性質，解題時首先讀懂題意，然后正確把握題目的數量關系才能很好解決題目的問題．
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8、如圖，直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標系中可能是（　　）

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如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經過點P（-
1
2
，
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），且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A，B兩點．
（1）求a值；
（2）設y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M，N兩點（點M在點N的左邊），y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E，F兩點（點E在點F的左邊），觀察M，N，E，F四點的坐標，寫出一條正確的結論，并通過計算說明；
（3）設A，B兩點的橫坐標分別記為xA，xB，若在x軸上有一動點Q（x，0），且xA≤x≤xB，過Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D精英家教網兩點，試問當x為何值時，線段CD有最大值，其最大值為多少？

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如圖，拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負半軸于點A，交x軸正半軸于點B，交y軸正半軸于點D，精英家教網O為坐標原點，拋物線上一點C的橫坐標為1．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求證：四邊形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

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已知：如圖，拋物線的頂點為點D，與y軸相交于點A，直線y=ax+3與y軸也交于點A，矩形ABCO的頂點B在精英家教網此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）⊙P是經過A、B兩點的一個動圓，當⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點的距離為4時，求圓心P的坐標；
（3）若線段DO與AB交于點E，以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似，如果有可能，請求出點D坐標及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

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已知：如圖，拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C（0，-2），精英家教網與x軸交于點A、B，點A的坐標為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動點，N是線段OC上一動點，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當△MNC的面積最大時，求點M、N的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與線段AC交于點F，點D的坐標為（-1，0）．問：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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