Question

已知：如圖，Rt△ABC中，點D在斜邊AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，連接DE
并延長，與AC的延長線交于點F．
（1）求證：AD=AF；
（2）若AC=3，BD=1，求CF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵BC與⊙O相切于點E，
∴OE⊥BC，即∠OEB=90°．
∴∠OEB=∠ACB=90°．
∴OE∥AC．
∴∠F=∠OED．
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
∴∠F=∠ODE=∠ADF．
∴AD=AF；
（2）設⊙O的半徑是r．
∵OE∥AC，
∴△OBE∽△ABC．
∴．
當AC=3，BD=1時
得 ．
解得，r=．
∴AF=AD=2r=1+．
∴CF=AF-AC=1+-3=-2．
分析：（1）連接OE，由切線的性質和圓的半徑相等以及平行線的性質證明∠F=∠ODE=∠ADF即可證明AD=AF；
（2）設⊙O的半徑是r，由OE∥AC，可得△OBE∽△ABC，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求出r的值，因為AF=AD=2r，所以CF的長也可求出．
點評：主要考查了切線的判定方法和相似三角形的判定以及性質．要掌握這些基本性質才會在綜合習題中靈活運用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．