Question

如圖，⊙O經(jīng)過(guò)菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、C、D，且與AB相切于點(diǎn)A
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）求∠B的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結(jié)OA、OB、OC、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得BA=BC，然后根據(jù)“SSS”可判斷△ABO≌△CBO，則∠BCO=∠BAO=90°，于是可根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；
（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，則∠AOB=∠COB，由于菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，所以點(diǎn)O在BD上，利用三角形外角性質(zhì)有∠BOC=∠ODC+∠OCD，則∠BOC=2∠ODC，
由于CB=CD，則∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根據(jù)∠BOC+∠OBC=90°可計(jì)算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC計(jì)算即可．
解答：（1）證明：連結(jié)OA、OB、OC、BD，如圖，
∵AB與⊙切于A點(diǎn)，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BC，
在△ABO和△CBO中
，
∴△ABO≌△CBO（SSS），
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC為⊙O的切線；

（2）解：∵△ABO≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD平分∠ABC，CB=CD，
∴點(diǎn)O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
而CB=CD，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了全等三角形相似的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)．