已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0),頂點(diǎn)為D(1,-1).
(1)確定拋物線的解析式;
(2)直線y=3與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)(B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)),以BC為一邊,原點(diǎn)O為另一頂點(diǎn)作平行四邊形,設(shè)平行四邊形的面積為S,求S的值;
(3)若以(2)小題中BC為一邊,拋物線上的任一點(diǎn)P為另一頂點(diǎn)作平行四邊形,當(dāng)平行四邊形面積為8時(shí),試確定P點(diǎn)的坐標(biāo);
(4)當(dāng)-2≤x≤4時(shí),(3)小題中平行四邊形的面積是否有最大值?若有請(qǐng)求出,若無(wú)請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
分析:(1)將A,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中,即可得出拋物線的解析式.
(2)先根據(jù)拋物線的解析式求出B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得出BC的長(zhǎng),然后根據(jù)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)(即平行四邊形的高),求出S的值.
(3)由于BC邊的長(zhǎng)已確定,因此可根據(jù)平行四邊形的面積求出P點(diǎn)和B點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值,以此可得出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),然后根據(jù)拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(4)先根據(jù)拋物線的解析式找出x在-2和4區(qū)間拋物線上到BC距離最長(zhǎng)的點(diǎn),進(jìn)而可求出平行四邊形的最大面積.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax
2+bx過(guò)點(diǎn)A(2,0),D(1,-1),
∴
解得a=1,b=-2.
則拋物線的解析式為y=x
2-2x.
(2)在拋物線解析式為y=x
2-2x中,令y=3,
即3=x
2-2x.
解得x
1=-1,x
2=3
則B(-1,3)、C(3,3).
故BC=4,那么S=4×3=12.
(3)當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí),
S=4×(3-y)=12-4y=8,y=1.
由x
2-2x=1,得:
,
.
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為
P
1(
,1),P
2(
,1).
當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí),
S=4×(y-3)=4y-12=8,y=5.
由x
2-2x=5,得:
,
.
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為
P
3(
,5),P
4(
,5).
(4)把x=-2代入y=x
2-2x,
得y=8,
把x=4代入y=x
2-2x,
得y=8,
當(dāng)-2≤x≤4時(shí),頂點(diǎn)D到BC的距離為4,拋物線上與線段BC距離最遠(yuǎn)的有兩個(gè)點(diǎn),坐標(biāo)分別為(-2,8)、(4,8)與線段BC的距離都為5.
∴S有最大值,其最大值為
S=4×(8-3)=20.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力.