【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是腰AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過C作CE垂直于BD或BD的延長(zhǎng)線,垂足為E,如圖.
(1)若BD是AC的中線,求 的值;
(2)若BD是∠ABC的角平分線,求 的值;
(3)結(jié)合(1)、(2),試推斷 的取值范圍(直接寫出結(jié)論,不必證明),并探究 的值能小于 嗎?若能,求出滿足條件的D點(diǎn)的位置;若不能,說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)CD=AD=a,則AB=AC=2a.

在Rt△ABD中,由勾股定理得:BD= a,

∵∠A=∠E=90°,∠ADB=∠EDC,

∴△BAD∽△CED,

=

= ,

解得:CE= ,

= =


(2)解:過點(diǎn)D作DF⊥BC于F,

∵BD是∠ABC的平分線,

∴AD=DF,

∵在Rt△ABC中,cos∠ABC= =

在Rt△CDF中,sin∠DCF= = ,

= ,

= ,

=

∴CD=2(2﹣ )a,

∴AD=AC﹣CD=2a﹣2(2﹣ )a=2( ﹣1)a,

∴BD2=AD2+AB2=8(2﹣ )a2,

∵Rt△ABD∽R(shí)t△CED,

∴CE= = a2

= = =2


(3)解:當(dāng)D在A點(diǎn)時(shí), =1,

當(dāng)D越來越接近C時(shí), 越來越接近無窮大,

的取值范圍是 ≥1.

設(shè)AB=AC=1,CD=x,AD=1﹣x,

在Rt△ABD中,BD2=12+(1﹣x)2,

又∵Rt△ABD∽R(shí)t△ECD,

,即 =

解得:CE= ,

,則有3x2﹣10x+6=0,

∵0<x≤1,

∴解得

,

表明隨著點(diǎn)D從A向C移動(dòng)時(shí),BD逐漸增大,而CE逐漸減小, 的值則隨著D從A向C移動(dòng)而逐漸增大,

∴探究 的值能小于 ,此時(shí)AD=


【解析】先設(shè)AB=AC=2a,CD=a,則BC= a,AD=a.求出BD,又求得Rt△ABD∽R(shí)t△ECD,(1)BD是AC的中線,則CD=AD=x= ,則解得;(2)BD是∠ABC的角平分線,則求得x,y值;(3)由以上兩個(gè)問題,從 的比值求得x的值,則求得 的值.
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖所示,在四邊形ABCD中,已知AB CD不平行,∠ABD=∠ACD,請(qǐng)你添加一個(gè)條件:______ ,使的加上這個(gè)條件后能夠推出AD∥BC ,且ABCD

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【題目】下列說法正確的是(  )

A.頂點(diǎn)相對(duì)的兩個(gè)角叫對(duì)頂角

B.一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角本身

C.互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不可能都是銳角

D.沒有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線

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【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,以AD為直徑的半圓O與BC相切.
(1)求證:OB⊥OC;
(2)若AD=12,∠BCD=60°,⊙O1與半⊙O外切,并與BC、CD相切,求⊙O1的面積.

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【題目】如圖,BD是△ABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),G,連接ED,DG.

(1)請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀,并說明理由;

(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求HG+HC的最小值.

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【題目】(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

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【題目】如圖,點(diǎn)O△ABC內(nèi)一點(diǎn),連結(jié)OB、OC,并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連結(jié),得到四邊形DEFG

1)求證:四邊形DEFG是平行四邊形;

2)若MEF的中點(diǎn),OM=3,∠OBC∠OCB互余,求DG的長(zhǎng)度.

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【題目】如圖,已知反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)( ,8),直線y=﹣x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q(4,m).

(1)求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P,連接0P、OQ,求△OPQ的面積.

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【題目】如圖,直線CDEF相交于點(diǎn)O,COE=60°,將一直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)與O重合,OA平分∠COE

1)求∠BOD的度數(shù);

2)將三角尺AOB以每秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),同時(shí)直線EF也以每秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤40).

①當(dāng)t為何值時(shí),直線EF平分∠AOB

②若直線EF平分∠BOD,直接寫出t的值.

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