Question

如圖1，已知直線y=-2x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，作BC的中垂線分別交OB、AB交于點(diǎn)D、E．
（l）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，DE=

1

；
（2）當(dāng)CE∥OB時(shí)，證明此時(shí)四邊形BDCE為菱形；
（3）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出OD的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）畫出圖形，根據(jù)DE垂直平分BC，可得出DE是△BOA的中位線，從而利用中位線的性質(zhì)求出DE的長度；
（2）先根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出DB=DC，EB=EC，然后結(jié)合CE∥OB判斷出BE∥DC，得出四邊形BDCE為平行四邊形，結(jié)合DB=DC可得出結(jié)論．
（3）求兩個(gè)極值點(diǎn)，①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，OD取得最小值，②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，OD取得最大值，繼而可得出OD的取值范圍．

解答：解：∵直線AB的解析式為y=-2x+4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），即可得OB=4，OA=2，
（1）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)如圖所示，

∵DE垂直平分BC（BO），
∴DE是△BOA的中位線，
∴DE=

1

2

OA=1；

（2）當(dāng)CE∥OB時(shí)，如圖所示：

∵DE為BC的中垂線，
∴BD=CD，EB=EC，
∴∠DBC=∠DCB，∠EBC=∠ECB，
∴∠DCE=∠DBE，
∵CE∥OB，
∴∠CEA=∠DBE，
∴∠CEA=∠DCE，
∴BE∥DC，
∴四邊形BDCE為平行四邊形，
又∵BD=CD，
∴四邊形BDCE為菱形．

（3）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，OD取得最大值，此時(shí)OD=

1

2

OB=2；
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，OD取得最小值，如圖所示：

在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=2

5

，
∵DE垂直平分BC（BA），
∴BE=

1

2

BA=

5

，
易證△BDE∽△BAO，
∴

BE

BO

=

BD

AB

，即

5

4

=

BD

2 5

，
解得：BD=

5

2

，
則OD=OB-BD=4-

5

2

=

3

2

．
綜上可得：

3

2

≤OD≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于一次函數(shù)的綜合題，涉及了菱形的判定、中垂線的性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題的計(jì)算，難點(diǎn)在第三問，注意分別確定OD取得最大值及最小值的位置是關(guān)鍵，難度較大．