如圖,AD是△ABC外角∠EAC的平分線,交BC的延長線于點D.延長DA交△ABC的外接圓于點F.
(1)求證:FB=FC;
(2)若FA=2數(shù)學公式,AD=4數(shù)學公式,求FB的長.

(1)證明:∵A、C、B、F四點共圓
∴∠FBC=∠DAC
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
又∵∠FCB=∠FAB(同弧所對的圓周角相等),∠FAB=∠EAD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC;

(2)解:∵∠BAC=∠BFC,∠FAB=∠FCB=∠FBC
∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
∵∠AFC=∠CFD,
∴△FAC∽△FCD
∴FA:FC=FC:FD
∴FB2=FC2=FA•FD=2×6=36,
∴FB=6.
分析:(1)欲證FB=FC,可證∠FBC=∠FCB.由A、C、B、F四點共圓可知∠FBC=∠CAD,又同弧所對的圓周角相等,則∠FCB=∠FAB,而∠FAB=∠EAD,則∠FCB=∠EAD,AD是△ABC外角∠EAC的平分線,得∠CAD=∠EAD,故∠FBC=∠FCB;
(2)由(1)知,求FB的長,即可以轉(zhuǎn)化為求FC的長,聯(lián)系已知條件:告訴FA與AD的長度,即可證△FAC∽△FCD.
點評:本題主要考查了圓周角定理及相似三角形的判定.在圓中,經(jīng)常利用同弧或者等弧所對的圓周角相等來實現(xiàn)角度的等量轉(zhuǎn)化.還要善于將已知條件與所要求的問題集中到兩個三角形中,運用三角形相似來解決問題.
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