Question

將正方形ABCD放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），MN平行于y軸，E是BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)C落在MN上，折痕為直線EF，
（1）求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）求直線EF的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P為直線EF上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、F、G的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)G的橫坐標(biāo)與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)相同，易得EM為BC的一半減去1，為1，EG=CE=2，利用勾股定理可得MG的長度，4減MG的長度即為點(diǎn)G的縱坐標(biāo)；
（2）由△EMG的各邊長可得∠MEG的度數(shù)為60°，進(jìn)而可求得∠CEF的度數(shù)，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可求得CF長，4減去CF長即為點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，設(shè)出直線解析式，把E，F(xiàn)坐標(biāo)代入即可求得相應(yīng)的解析式；
（3）以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)G為半徑畫弧，交直線EF于兩點(diǎn)；以點(diǎn)G為圓心，F(xiàn)G為半徑畫弧，交直線EF于一點(diǎn)；做FG的垂直平分線交直線EF于一點(diǎn)，根據(jù)線段的長度和與坐標(biāo)軸的夾角可得相應(yīng)坐標(biāo)．
解答：解：（1）易得EM=1，CE=2，
∵EG=CE=2，
∴MG=，
∴GN=4-；（1分）
G點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，4-）（3分）；

（2）易得∠MEG的度數(shù)為60°，
∵∠CEF=∠FEG，
∴∠CEF=60°，
∴CF=2，
∴OF=4-2，
∴點(diǎn)F（0，4-2）．（6分）
設(shè)EF的解析式為y=kx+4-2，
易得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），
把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入可得k=，
∴EF的解析式為：y=x+4-2（8分）．

（3）P₁（1，4-）、P₂（，7-2），
P₃（-，2-1）、P₄（3，4+）（12分）．
點(diǎn)評：本題綜合考查了折疊問題和相應(yīng)的三角函數(shù)知識，難點(diǎn)是得到關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；注意等腰三角形的兩邊相等有多種不同的情況．