Question

已知一平面內(nèi)的任意四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一條直線上，試問(wèn)：是否一定能從這樣的四點(diǎn)中選出三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，使得這個(gè)三角形至少有一內(nèi)角不大于45°？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：結(jié)論是以疑問(wèn)形式出現(xiàn)的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，則說(shuō)明結(jié)論是否定的；若推不出矛盾，則可考慮去證明結(jié)論是肯定的．

解答：證明：能．
（1）如圖a，若四點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成凸四邊形．則必有一個(gè)內(nèi)角≤90°．不妨設(shè)為∠A．
這是因?yàn)�，假設(shè)四個(gè)內(nèi)角都大于90°，則360°=∠A+∠B+∠C+∠D＞4×90°=360°．矛盾．
則∠BAC+∠CAD≤90°．
則∠BAC與∠CAD中必有一個(gè)≤

1

2

×90°=45°．
故結(jié)論成立．

（2）如圖b．若四點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成四邊形．則△ABC中必有一個(gè)內(nèi)角≤

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×180°=60°．
不防設(shè)∠A≤60°．
又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°．
則∠BAD與∠CAD值中必有一個(gè)≤

1

2

×60°＜45°．
故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．
反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；
（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；
（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．
在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．