Question

（2012•鐵嶺）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB于點E，點F在AB延長線上，∠AFC=30°．
（1）求證：CF為⊙O的切線．
（2）若半徑ON⊥AD于點M，CE=

3

，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由CD垂直平分OB，得到E為OB的中點，且CD與OB垂直，又OB=OC，可得OE等于OC的一半，在直角三角形OEC中，根據銳角三角函數的定義，得到sin∠ECO的值為

1

2

，可得∠ECO為30°，進而得到∠EOC為60°，又∠CFO為30°，可得∠OCF為直角，由OC為圓O的半徑，可得CF為圓的切線；
（2）由（1）得出的∠COF=60°，根據對稱性可得∠EOD為60°，進而得到∠DOA=120°，由OA=OD，且OM與AD垂直，根據“三線合一”得到∠DOM為60°，在直角三角形OCE中，由CE的長及∠ECO=30°，可求出半徑OC的長，又在直角三角形OMD中，由∠MDO=30°，半徑OD=2，可求出MD及OM的長，然后利用扇形ODN的面積減去三角形ODM的面積即可求出陰影部分的面積．

解答：（1）證明：∵CD垂直平分OB，∴OE=

1

2

OB，∠CEO=90°，
∵OB=OC，
∴OE=

1

2

OC，
在Rt△COE中，sin∠ECO=

EO

OC

=

1

2

，
∴∠ECO=30°，
∴∠EOC=60°，
∵∠CFO=30°，
∴∠OCF=90°，又OC是⊙O的半徑，
∴CF是⊙O的切線；

（2）解：由（1）可得∠COF=60°，
由圓的軸對稱性可得∠EOD=60°，∴∠DOA=120°，
∵OM⊥AD，OA=OD，∴∠DOM=60°．
在Rt△COE中，CE=

3

，∠ECO=30°，cos∠ECO=

EC

OC

，
∴OC=2，
在Rt△ODM中，OD=2，∠ADO=30°，
∴OM=ODsin30°=1，MD=ODcos30°=

3

，
∴S_扇形OND=

60π×22

360

=

2

3

π，
∴S_△OMD=

1

2

OM•DM=

3

2

，
∴S_陰影=S_扇形OND-S_△OMD=

2

3

π-

3

2

．

點評：此題考查了切線的判定，直角三角形的性質，銳角三角形函數定義，等腰三角形的性質，以及直角三角形和扇形面積的公式，切線的判定方法為：有點連接證垂直；無點作垂線，證明垂線段長等于半徑．對于不規(guī)則圖形的面積的求法，可利用轉化的思想，把不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形來求，例如本題就是用扇形的面積減去直角三角形的面積得到陰影部分面積的．