Question

有一個(gè)二次函數(shù)的圖象，甲、乙、丙三位同學(xué)分別說(shuō)出了它的特點(diǎn)：
甲：對(duì)稱軸是直線x=2；
乙：與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；
丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為3．請(qǐng)你寫(xiě)出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)解析式

 

．

Answer 1

分析：對(duì)稱軸是直線x=2，則一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比是-4；與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可知二次函數(shù)值y=0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)解；三角形的面積=

1

2

×底×高．據(jù)此作答．

解答：解：對(duì)稱軸是直線x=2，則一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比是-4，
因而可設(shè)函數(shù)解析式是y=ax²-4ax+ac，
與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，因而ac是整數(shù)，
y=ax²-4ax+ac=a（x²-4x+c），與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，
即方程x²-4x+c=0有兩個(gè)整數(shù)解，設(shè)是-1和+5，則c=-5，
則y=ax²-4ax+ac=a（x²-4x-5），
∵以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為3，
∴a=±

1

5

．
則函數(shù)是：y=±

1

5

（x+1）（x-5）．（答案不唯一）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求解方法，特別需要注意的是已知對(duì)稱軸就是已知二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，以及已知方程的解求方程的問(wèn)題．