Question

如圖，AC是⊙O的直徑，OE⊥AB，OF⊥AD，E，F(xiàn)為垂足，OE=OF，AC²=AD•AB，求證：BC是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：首先由角平分線的判定定理得到AC是∠BAD的角平分線，然后結合已知條件AC²=AD•AB可以判定△ACD∽△ADC，則該相似三角形的對應角相等：∠ADC=∠ACB=90°，故BC是該圓的切線．

解答：證明：如圖，∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°．
∵OE⊥AB，OF⊥AD，OE=OF，
∴∠ABC=∠CAD．
又∵AC²=AD•AB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
∴△ACD∽△ADC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵AC是直徑，
∴BC是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．