Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，P為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AP分別交BD，BC于點(diǎn)M，N．

(1)圖中相似三角形共有_____對(duì)；

(2)證明：AM2＝MNMP；

(3)若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)6；(2)證明見解析；(3)BN＝4．

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定定理來做：△ADB∽△CBD、△ABN∽△PCN、△ADM∽△NBM、△AMB∽△PMD、△APD∽△ABN；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形的性質(zhì)來證明△ADM∽△NBM、△PDM∽△ABM；再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)知：＝、＝，所以AM2=MNMP．
（3）由四邊形ABCD是平行四邊形的性質(zhì)來證明△PCN∽△PDA；再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)知：＝；最后根據(jù)已知條件求解即可．

(1)解：6；

有△AMB∽△PMD，△ADM∽△NBM，△ABN∽△PCN∽△PDA，△ABD≌△CDB，

∴共6對(duì)；

(2)證明：∵AD∥BC，

∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，

∴△ADM∽△NBM，

∴＝；

∵AB∥DC，

∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，

∴△PDM∽△ABM，

∴＝，

∴＝，

∴AM2＝MNMP；

(3)解：∵AD∥BC，

∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，

∴△PCN∽△PDA，

∴＝，

∵DC：CP＝2：1，

∴＝＝；

又∵AD＝6

∴NC＝2，BN＝4