Question

如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、和DA上，連接EG和FH小明和小亮對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)了很多有趣的東西，同時(shí)他倆又進(jìn)一步猜想
小明說(shuō)：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；
小亮說(shuō)：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；
請(qǐng)你對(duì)小明和小亮的猜想進(jìn)行判斷，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：如圖，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，可通過(guò)證明△HFN≌△EGM，可證得小明的說(shuō)法；通過(guò)作輔助線，找到與EG相等但不垂直的HF，即可證得小亮的說(shuō)法．
解答：證明：如圖，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵EM⊥CD
∴四邊形BCME是矩形，
∴EM=BC，
同理HN=AB，
∴EM=HN，
由題意可知FH⊥EG，EM⊥HN，
∴∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90°，
∵∠EON=∠HOG，
∴∠FHN=∠MEG，
∴△HFN≌△EGM，
∴EG=HF；
小明的說(shuō)法是正確的；
如圖，在BC上找兩個(gè)點(diǎn)F和F'，使BF'=CF取AD的中點(diǎn)H，連接FH和F'H，
易證HF=HF'，
作EG⊥HF'，其中點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在CD上，
由上題可知EG=F'H=FH，
但HF和EG不互相垂直，
小亮的猜想是錯(cuò)誤的．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．