Question

如圖，△ABC的面積為1，點D、G、E 和F分別在邊AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．則梯形DEFG面積的最大可能值為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先設(shè)=x，可得=1-x，由DG∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得=1-x，然后由DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，證得△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ADG，△BDE，△CGF的面積，則可求得S_梯形DEFG=1-x²-2（1-x）²，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得梯形DEFG面積的最大可能值．
解答：解：設(shè)=x，則=1-x，
∵DG∥BC，
∴=1-x，
∵DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，
∴△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，
∴=x²，=（1-x）²，=（1-x）²，
∴S_梯形DEFG=1-x²-2（1-x）²=-3x²+4x-1=-3（x-）²+，
∴當(dāng)x=時，即=，此時BD＜DA，梯形DEFG面積的最大值為．
故答案為：．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求得二次函數(shù)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．